Đạo hàm là tên gọi vô cùng quen thuộc trong môn toán đại số. Vậy đạo hàm là gì? công thức tính đạo hàm như thế nào. Cùng mình theo dõi qua bài viết sau đây để hiểu rõ hơn nhé.

1. Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là tỉ số tại điểm x0 giữa số gia của hàm số với số gia của đối số. Giá trị của đạo hàm chính là chiều biến thiên giữa hàm số và độ lớn của biến thiên.

2. Ý nghĩa của đạo hàm là gì?

– Đối với hình học: Đạo hàm là hệ số góc tại điểm M của tiếp tuyến. Với phương trình tại điểm M là y − y0 = f′(x0)(x − x0)

– Đối với vật lý:

Nếu một chuyển động thẳng s = f(t) ta sẽ có vận tốc tức thời tại t0 là: v(t0) = s′(t0) = f′(t0). Gia tốc tức thời tại t0 chính là phương trình a(t0) = f′′(t0).

Nếu điện lượng Q được truyền trong dây dẫn có phương trình Q = f(t) thì cường độ tức thời tại t0 là I(t0) = Q′(t0) = f′(t0)

3. Một số đạo hàm thường dùng trong toán học

– Đối với các hàm số cơ bản ta có bảng đạo hàm như sau:

Gọi biến là x ta có: 

  • (xα)’ = α.xα-1
  • (sin x)’ = cos x
  • (cos x)’ = – sin x
  • (tan x)’ = 1cos2x = 1 + tan2 x
  • (cot x)’ = −1sin2x = -(1 + cot2 x)
  • (logα x)’ = 1x.lnα
  • (ln x)’ = 1x
  • x)’ = αx . lnα
  • (ex)’ = ex

– Đối với hàm số nâng cao

Hàm số nâng cao bao gồm các hàm số đa thức, lượng giác, mũ và logarit.

Giả sử biến là u = f(x) ta có:

  • (uα)’ = α.u’.uα-1
  • (sin u)’ = u’.cos u
  • (cos u)’ = – u’.sin u
  • (tan u)’ = u′cos2u = u'(1 + tan2 u)
  • (cot u)’ = −usin2u = -u'(1 + cot2 x)
  • (logα u)’ = uu.lnα
  • (ln u)’ = uu
  • u)’ = u’.αu.lnα
  • (eu)’ = u’.eu

4. Công thức tính đạo hàm

  •  Đối với các hàm số cơ bản

Các hàm số cơ bản được tính theo các công thức như sau:

Với hàm số y = xn, (n∈N,n>1) có công thức tính đạo hàm là: (xn)′ = nxn – 1với mọi x ∈ R. Tại công thức này ta có (C)’ = 0 (với C là hằng số), (x)’=1.

Với hàm số y = x − −√ có công thức đạo hàm là (x − −√′ = 12x√, với mọi biến x dương.

 

  • Đối với các phép toán

 

Giả sử biến u = u(x) và v = v(x) ta có:

Công thức tính đạo hàm tại x trong khoảng xác định là: 

(u + v) = u + v(u–v) = u – v(u.v) = u.v + u.v(uv) = uv − uvv2, với v(x) ≠ 0

Từ phương trình trên mở rộng ra ta có: (u1 + u2 + …+ un) = u1′ + u2′ +…+ un.

Khi đó xảy ra hai trường hợp: Nếu k là hằng số thì (ku)’ = ku’. Nếu (1v)′ = v′v2 và v(x) ≠ 0 thì ta có (u.v.w)′ = u′.v.w + u.v′.w + u.v.w′

 

  • Đối với hàm hợp

 

Với u = u(x) ta có hàm số y = f(u). Khi đó có phương trình: y′u = y′u.u′x (1)

Đối với (1) xảy ra trường hợp (un) = n.un – 1.u, với n∈N và (u−−√)′ = u′2u√.

 

  • Đối với hàm lượng giác

 

Ngoài những công thức về hàm số, phép toán, hàm hợp. Ta còn có những công thức tính đạo hàm dựa vào hàm lượng giác như sau:

sin(x)’ = 11– x2√cos(x)’ = −11– x2√tan(x)’ = 1 x 2 + 1

 

  • Đối với đạo hàm cấp 2

 

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, với x ∈ (a; b).  Khi đó ta có hàm số cấp 2 là y’ = f'(x) với x ∈ (a; b).

Kí hiệu đạo hàm cấp 2 là y” hoặc f”(x).

Đạo hàm cấp hai f”(t) chính là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là S = f(t) 

 

  • Đối với đạo hàm cấp cao

 

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 được kí hiệu f (n-1) (x), với n ∈ N, n ≥ 4).

Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đó là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), y (n), f (n), (x).

Với f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’ ta có công thức tính đạo hàm ở cấp cao là:

(x m)(n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n  (với m ≥ n)

(x m)(n) = 0 (với m ≤ n)

5. Bài tập liên quan đến công thức tính đạo hàm

Dạng bại tập phổ biến thường gặp là tính đạo hàm tại một điểm (hàm số y=f(x), với x0. Do vậy bài viết sẽ có ví dụ minh họa về dạng này để các bạn tham khảo.

Phương pháp để giải bài tập đạo hàm dạng này là chúng ta phải nắm được định nghĩa của đạo hàm là gì? Từ đó sẽ xác định được tại thời điểm bằng 0 sẽ có giá trị như thế nào.  Đồng thời xác định được hàm số sau: f′(x0) = limx → x0(f(x) − f(x0)x − x0

Đề bài: Dùng định nghĩa và công thức tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số f(x)=x2 + 4x tại điểm x0 = 2

Trả lời:

Dựa vào phương trình f′(x0) = limx → x0(f(x) − f(x0)x − x0 ta có:

f′(2) = limx → 2(f(x) − f(2)x − 2) 

= limx → 2((x2+4x) − 12x − 2)

= limx → 2(x+6) = 8

Trên đây là những kiến thức liên quan đến đạo hàm và công thức tính đạo hàm. Chúc các bạn có thêm nguồn thông tin bổ ích để củng cố lại kiến thức về đạo hàm nhé.

Tagged:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *